게임 수학 입문 02 - 함수(Function)

함수(Function)란 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계를 의미합니다.
두 집합을 각각 X와 Y라는 기호로 지정하고, 집합 X의 원소를 x, 집합 Y의 원소를 y라고 할 때 X에서 Y로 대응되는 함수를 ${y = f(x)}$ 로 나타냅니다.

\[y = f(x)\]

(함수의 개념과 기호)

두 집합의 요소가 서로 대응 된다고 해서 모두 함수인 것은 아니며, 다음 두 규칙이 성립되야 합니다.

• 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응관계가 존재해야 합니다.
• 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 합니다.

(정의역과 공역)

왼쪽의 집합과 오른쪽의 집합이 가져야 하는 조건이 다르다 보니 함수에서 정의된 용어를 사용해 두 집합이 가진 대응관계를 명확하게 전달하는 것을 권장합니다.
함수에서 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합 X를 정의역(Domain)이라고 하고, 오른쪽에 위치한 두 번째 집합 Y를 공역(Codomain)이라고 합니다.

(함수의 규칙)

함수로 성립하려면 정의역의 모든 원소는 공역의 원소에 대응되어야 합니다.

(치역)

하지만 공역의 모든 원소가 정의역에 대응할 필요는 없습니다.
그렇기 때문에 정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로 모아 부분집합을 형성할 수 있는데, 이를 치역(Range)이라고 부릅니다.

함수의 종류

또한 함수에 사용하는 정의역의 요소를 입력(Input), 입력에 대응하는 공역의 요소를 출력(Output)이라고 합니다.
정의역과 공역이 서로 대응되는 형태에 따라 함수를 여러 종류로 구분할 수 있는데, 알아두면 좋은 함수의 종류는 다음과 같습니다.

전사함수

전사함수(Surjection, Onto)는 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수를 의미합니다. 따라서 공역과 치역이 동일합니다.

예를 들어 위 이미지에서는 공역과 치역이 동일하지 않기 때문에 전사 함수가 아닙니다.

단사함수

단사함수(Injection, One-to-One)는 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수를 의미합니다.

전단사함수

전사함수와 단사함수의 성질을 모두 만족하는 경우, 전단사함수(Bijection, One-to-One and onto)라고 부릅니다. 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수를 의미합니다.

합성함수

(함수의 합성)

함수의 대응관계를 확장해 다수 집합의 대응관계로 발전시킬 수도 있습니다. 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성(Function Composition)이라고 합니다.

세 집합 X, Y, Z 사이에 두 함수 ${f(x)}$, ${g(y)}$가 존재하는 상황을 가정해봅시다.
두 함수를 연쇄적으로 이어서 합성함수를 만들면 위 이미지와 같이 중간에 위치한 집합 Y를 생략하고 집합 X와 Z의 직접적인 대응관계를 표현 할 수 있습니다.
이러한 합성함수는 ${g \circ f}$ 또는 ${g(f(x))}$로 표기합니다. 먼저 실행되는 함수 ${f(x)}$가 합성함수 기호 ${\circ}$ 의 오른쪽에 놓인다는 점에 유의합시다.

이번에는 집합과 함수를 하나씩 더 추가한 대응관계를 생각해봅시다.

점점 복잡해지지만 이 상황에서는 두 합성함수에 대한 경우의 수를 위와 같이 정리할 수 있습니다.

위 두 합성함수가 남은 함수와 다시 합성하는 경우는 각각 위와 같이 전개될 것입니다.
그런데 두 결과는 동일한 대응관계를 가짐을 볼 수 있습니다. 합성 함수를 이항연산으로 생각하면, 합성 함수는 결합법칙이 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

항등함수와 역함수

앞서 수의 연산에서 다룬 항등원, 역원과 같이 동일한 개념이 함수에도 존재합니다.
위 그림과 같이 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수를 항등함수(Identity function)라고 하며 기호 ${id}$로 나타냅니다.

항등함수는 이전에서 배운 연산의 항등원과 동일한 역할을 수행합니다.
만일 합성함수를 사용해 함수에 연산의 개념을 도입하면 세 집합의 대응관계는 위와 같습니다.

왼쪽의 ${g(y)}$를 수식으로 나타내면 ${id \circ f= f}$이고 오른쪽을 수식으로 나타내면 ${f \circ id = f}$가 되는데 항등 함수는 어느 위치에 있든지 합성의 결과는 원본 함수와 동일한 대응관계를 나타냅니다.

(왼쪽 역함수, 오른쪽 항등함수)

이번에는 수의 역원 개념과 동일하게 합성 함수의 대응 결과가 항등함수가 되는 경우를 생각해봅시다.
위 이미지의 왼쪽과 같은 대응 관계가 있다고 생각한다면, 이를 합성해 간추린 결과는 오른쪽 같이 서로 동일한 원소끼리 대응될 것입니다.

\[\begin{aligned} f^{-1} \circ f = id \\ f \circ f^{-1} = id \end{aligned}\]

(역함수)

왼쪽의 ${g(y)}$같은 함수를 역함수(inverse Function)이라고 합니다.
역함수는 위 첨자를 붙혀 ${f^{-1}}$ 으로 표기하며 어떤 함수와 역함수를 합성한 결과는 오른쪽과 같이 언제나 항등함수가 됩니다. 이를 수식으로 나타내면 위와 같습니다.

(왼쪽 전사함수, 오른쪽 단사함수)

역함수는 두 집합의 대응관계를 뒤집어 공역 Y에서 정의역 X로 대응하는 함수로도 생각할 수 있습니다.
역함수에서 주의할 점은 모든 함수가 역함수를 갖지는 않는다는 사실입니다.
전사함수는 하나의 원소가 두개의 원소에 대응되기 때문에 함수의 기본 조건을 만족하지 못하고
단사함수는 정의역의 모든 원소가 대응하지 않기 때문에 이들의 역함수는 함수의 조건을 만족하지 못합니다.

하지만 전단사함수의 경우에는 모든 경우에서 함수의 조건을 만족하기 때문에 역함수가 보장됩니다.
따라서 어떤 함수가 역함수를 가지기 위해서는 반드시 전단사함수의 형태가 되어야만 합니다.

이번에는 합성함수에 역함수의 개념을 적용해봅시다. 세 집합 X, Y, Z 대상으로 생성된 두 전단사함수 f, g를 나타냈습니다. 이를 합성한 결과는 위와 같을 것입니다.

(합성함수의 역함수)

여기서 합성함수 ${g \circ f}$를 거꾸로 뒤집은 역함수 ${(g \circ f)^{-1}}$는 위 이미지와 같은 대응관계를 가진다고 볼 수 있습니다.

(합성함수의 역함수의 분석)

또한 두 함수의 역함수 ${f^{-1}}$ 과 ${g^{-1}}$ 반대 순서로 합성한 결과로도 볼 수 있습니다.

\[(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]

이러한 합성함수의 역함수가 가지는 성질은 위와 같은 식으로 정리됩니다.

곱집합

곱집합(Cartesian Product, Product Set) 이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합을 의미합니다.

\[A \times B\]

두 집합 A와 B가 있고 각 집합에 속한 원소를 a와 b라고 했을 때 집합 A와 B의 곱집합은 위와 같이 ${\times}$ 기호로 표현합니다.

(트럼프 카드의 곱집합)

곱집합은 두 집합 A와 B의 요소를 서로 수직으로 배치해 묶어서 표현합니다.
위 이미지는 무늬 집합 A와 순서 집합 B를 곱집합으로 묶은 카드 배열을 나타낸 예시입니다.

\[(a, b)\]

곱집합의 요소는 각 집합의 원소 a와 b를 위 처럼 순서쌍으로 묶어서 표현 할 수 있습니다.

\[y = f(\mathbb{R} \times \mathbb{R}) \\ y = f(a, b)\]

곱집합 개념은 앞서 설명한 수의 이항연산 개념을 설명하는데에도 사용할 수 있습니다.

두 실수 집합의 곱집합 ${\mathbb{R} \times \mathbb{R}}$ 을 구성하고 함수의 정의역으로 설정해 정의역의 입력요소를 2개로 지정하였다면, 수의 이항연산을 함수로 표현하는 것이 가능합니다.

(좌표 평면)

또한 두 집합을 서로 수직으로 배치하는 곱집합의 성질을 응용하면, 하나의 직선으로 표현한 실수 집합 ${\mathbb{R}}$ 을 확정해 두 실수 집합의 곱집합 ${\mathbb{R} \times \mathbb{R}}$ 을 위와 같이 좌표 평면으로 나타낼 수 있습니다.

(Blender3D, gizmo)

따라서 두 실수 집합의 곱집합으로 형성된 평면에 다시 또 하나의 실수 집합을 곱집합으로 설정하면 3차원 공간이 됩니다.

레퍼런스(Reference)

• 이득우의 게임수학 : (http://www.yes24.com/Product/Goods/107025224)