게임 수학 입문 03 - 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)

데카르트 좌표계 (Cartesian coordinate system)

이전 포스트에서 함수에 대해서 알아봤을 때, 실수와 실수의 곱집합을 사용하여 직선으로 표현되는 영역을 평면으로 확장해 표현할 수 있었습니다. \ 이렇게 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식을 **데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)**라고 부릅니다. \ 곱집합의 원어가 데카르트 곱(Cartesian Product)임을 생각해본다면 이 둘은 동일한 개념임을 알 수 있습니다.

(데카르트 좌표계)

데카르트 좌표계는 위 이미지와 같이 수평으로 배치한 첫 번째 실수 집합의 미지수를 ${x}$, 수직으로 배치한 두 번째 실수 집합의 미지수를 ${y}$로 표기하고 원점을 기준으로 x축의 오른편, y축의 위편은 양의 영역을 나타냅니다. \ 이렇게 배치된 두 실수 집합으로 평면을 가르면 평면의 영역은 총 4개의 **사분면(quadrant)**으로 나뉘는데 오른쪽 상단에서 부터 반시계 방향으로 위와 같이 이름을 붙입니다.

$$ (x, y) $$

데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 위와 같은 순서쌍으로 표현하며 좌표(Coordinate)라고 부릅니다.

(좌표의 시각화)

일반적으로 좌표는 수와 동일하게 점 또는 원점으로부터의 화살표로 표현합니다. 좌표는 크기와 방향 두 가지 속성을 가집니다.

좌표를 다루는 작업은 직선에서 평면으로 무대만 넓어졌을 뿐, 수직선에서 수를 다루는 방식과 매우 유사합니다. 하지만 평면에서 점이 움직이는 것 처럼 보이게 하려면 평면에서 이뤄지는 새로운 연산을 고안해야 할 것입니다.

벡터 공간과 벡터

스칼라(Scalar)와 벡터(Vector)

평면의 좌표${(x,y)}$는 두 실수 ${x}$와 ${y}$를 결합해서 만들어집니다. \ 그렇기 때문에 좌표의 연산은 실수가 지니는 연산의 성질을 바탕으로 설계되어야 합니다. \

실수의 연산 성질은 체의 구조를 가진다는 사실을 확인했습니다. \ 이를 기반으로 새로운 공리를 덧붙여서 평면을 대표하는 집합을 규정하고, 해당 집합에서 이뤄지는 덧셈과 곱셈 연산 체계를 만들어야 평면에서의 움직임을 표현 할 수 있습니다.

두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것을 **벡터 공간(Vector Space)**라고 부르며, 벡터 공간의 원소를 **벡터(Vector)**라고 합니다.

공리적 집합론의 관점에서는 특정한 수 집합을 지칭하지 않고 연산이 갖는 성질만 다루기 때문에 좌푯값으로 사용하는 ${x}$와 ${y}$를 실수로 규정하기 보다는 체(Field)의 구조를 지니는 집합, 즉 체 집합의 원소로 규정합니다.

이렇게 체의 구조를 가지는 수 집합의 원소를 **스칼라(Scalar)**라고 부릅니다. \ 우리가 좌표로 사용하는 실수 ${x}$와 ${y}$는 모두 공리적 집합론의 관점에서는 스칼라인 것입니다.

\vec{v} = (x,y)

집합의 개념인 벡터 공간을 표기할 때는 주로 대문자 ${V}$를 사용하고, 이의 원소인 벡터는 소문자 ${\vec{v}}$로 표기합니다. 벡터는 위와 같이 좌표와 동일한 방법으로 표기합니다.

벡터 공간의 연산

공리적 집합론의 관점에서 정의된 벡터 공간은 두 가지 기본 연산이 존재합니다. 다음의 수식에서 사용되는 수 ${a, x, y}$는 모두 체 집합의 원소인 스칼라입니다.

벡터와 벡터의 덧셈 (벡터의 합)

\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} = (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})

스칼라와 벡터의 곱셈 (스칼라 곱셈)

a * \vec{v} = a * (x, y) = (a * x, a * y)

체가 갖는 연산의 성질에 기반해서 벡터 공간의 연산이 갖는 성질은 다음과 같이 8가지로 정리됩니다. 이를 벡터 공간의 공리라고 합니다.

벡터의 합
- 벡터의 합의 결합법칙
  - ${\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}}$
- 벡터의 합의 교환법칙
  - ${\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}}$
- 벡터의 합의 항등원
  - ${\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}}$
- 벡터의 합의 역원
  - ${\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}}$
스칼라 곱셈
- 스칼라 곱셈의 호환성
  - ${a(b\vec{v}) = (ab)\vec{u}}$
- 스칼라 곱셈의 항등원
  - ${1 * \vec{v} = \vec{v}}$
- 벡터의 합에 대한 분배법칙
  - ${a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}}$
- 스칼라 합에 대한 분배법칙
  - ${(a + b)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}}$

위와 같은 벡터 공간의 공리는 모두 체의 공리를 기반으로 하기 때문에 해당 공리가 참임을 바로 파악할 수 있습니다. \ 예를 들어서 벡터의 합이 교환법칙을 만족하는 까닭은 두 스칼라의 덧셈이 교환법칙을 만족하기 때문입니다.

\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} = (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) \\ \vec{v_{2}} + \vec{v_{1}} = (x_{2}, y_{2}) + (x_{1}, y_{1}) = (x_{2} + x_{1}, y_{2} + y_{1}) \\ \therefore \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} = \vec{v_{2}} + \vec{v_{1}}

벡터 공간에서 벡터의 합과 스칼라 곱셈에 따라 점의 움직임이 어떻게 달라지는지 시각화 하여 확인해봅시다.

(벡터의 합 연산)

벡터의 합은 위 이미지와 같이 평면의 점을 각 축에 대해 독립적으로 평행이동 시키는 작업으로 해석할 수 있습니다.

(스칼라 곱셈)

위와 같이 스칼라 곱셈을 시각화 해봤습니다. \ 벡터 ${\vec{v}}$에 스칼라 곱셈을 하여 생성된 벡터는 원점을 지나고 벡터와 평행한 직선상에 위치합니다. \ 따라서 스칼라 곱셈의 결과는 항상 검은색 점선으로 표현한 원점을 지나는 직선상의 벡터를 만들어냅니다.

벡터의 크기와 이동

벡터 ${\vec{v}}$의 크기는 원점으로 부터의 거리를 의미하며 절댓값 기호 ${\mid\vec{v}\mid}$ 를 사용해 구할 수 있습니다. \ 벡터의 크기도 동일하게 원점으로부터의 최단거리를 의미합니다.

수학에서 일반적인 표기법으로 벡터의 크기는 절댓값 기호를 두 번 사용하여 표기하지만 이 포스트에서는 하나만 사용합니다.

(피타고라스 정리로 벡터의 크기를 측정)

이를 측정하려면 원점과 벡터를 연결해 직각 삼각형을 그린 후, 피타고라스 정리를 사용해 거리를 측정 할 수 있습니다.

|\vec{v}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

이렇게 측정된 벡터의 크기 역시 절댓값 기호와 동일한 것을 사용합니다. 벡터${(x,y)}$의 크기를 구하는 공식은 위와 같습니다.

벡터의 크기는 노름(Norm)이라는 용어로 부르기도 합니다.

벡터의 크기에 관련된 유용한 표기방법과 수식을 알아봅시다. \ 먼저 크기가 ${1}$인 벡터를 **단위 벡터(unit vector)**라고 합니다. \ 단위 벡터는 벡터의 크기를 측정하는 기준이 되며, 앞으로 벡터와 관련된 다양한 응용식을 전개하는데 자주 사용될 것입니다. \ 단위 벡터는 다음과 같이 모자 기호(Hat)을 씌워 ${\hat{v}}$의 형태로 표시합니다.

(벡터의 정규화)

스칼라 곱셈의 성질을 이용해서 임의의 벡터 ${\vec{v}}$ 를 크기인 ${|\vec{v}|}$로 나누면 단위 벡터 ${\hat{v}}$를 얻을 수 있습니다.

\hat{v} = \frac {\vec{v}} {|\vec{v}|}

임의의 벡터 ${\vec{v}}$를 크기가 1인 단위벡터 ${\hat{v}}$로 다듬는 작업을 정규화(Normalize)한다 라고 부르며 수식은 위와 같습니다.

TMI : 위 계산은 HLSL에서 x / length(x) 연산과 같으며, normalize() 라는 이름의 함수로 만들어져있습니다.

레퍼런스(Reference)

이득우의 게임수학 : (http://www.yes24.com/Product/Goods/107025224)